Упр.1534 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Исследовать с помощью производной функцию $$y=x^3-5x^2-x+5$$ и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной $$4$$.
Найдём производную:
$$y’= (x^3-5x^2-x+5)’=3x^2-10x-1.$$
Исследуем знак производной:
$$3x^2-10x-1=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=100+12=112=16\cdot 7.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{112}}{6}=\frac{10\pm 4\sqrt7}{6}=\frac{5\pm 2\sqrt7}{3}.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$y’>0 \text{ при } x<\frac{5-2\sqrt7}{3} \text{ и } x>\frac{5+2\sqrt7}{3},$$
$$y'<0 \text{ при } \frac{5-2\sqrt7}{3}<x<\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$
Следовательно, функция возрастает на промежутках
$$\left(-\infty,\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\cup \left(\frac{5+2\sqrt7}{3},+\infty\right),$$
и убывает на промежутке
$$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{5+2\sqrt7}{3}\right).$$
Координаты экстремумов:
$$x_{\max}=\frac{5-2\sqrt7}{3}, \qquad x_{\min}=\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$
Найдём значения функции в этих точках:
$$y\!\left(\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\approx 5, \qquad y\!\left(\frac{5+2\sqrt7}{3}\right)\approx -16{,}9.$$
Для построения графика удобно отметить точки пересечения с осями:
$$x^3-5x^2-x+5=(x^2-1)(x^2-5)=0,$$
откуда
$$x=\pm 1,\ \pm \sqrt5.$$
Также
$$y(0)=5.$$
Теперь найдём уравнение касательной в точке $$x_0=4$$:
$$y'(4)=3\cdot 4^2-10\cdot 4-1=48-40-1=7,$$
$$y(4)=4^3-5\cdot 4^2-4+5=64-80-4+5=-15.$$
Уравнение касательной:
$$y-y_0=k(x-x_0),$$
то есть
$$y+15=7(x-4),$$
$$y=7x-43.$$
Ответ
$$y’=3x^2-10x-1.$$
Функция возрастает на $$\left(-\infty,\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\cup \left(\frac{5+2\sqrt7}{3},+\infty\right)$$, убывает на $$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{5+2\sqrt7}{3}\right).$$
Касательная в точке $$x=4$$: $$y=7x-43.$$
