Упр.1533 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1533 Исследовать с помощью производной функцию у = x3 — 3x + 2 и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ох. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1533 1111

Найдём производную функции:

$$y=x^3-3x+2$$

$$y’ = 3x^2-3 = 3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

Исследуем знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,$$

$$y'<0 \text{ при } -1<x<1.$$

Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-1)$$ и $$ (1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;1).$$

Найдём значения функции в критических точках:

$$y(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)+2=-1+3+2=4,$$

$$y(1)=1^3-3\cdot1+2=1-3+2=0.$$

Следовательно, точка $$(-1;4)$$ — точка максимума, а точка $$ (1;0)$$ — точка минимума.

Для построения графика найдём ещё несколько точек:

$$y(-2)=(-2)^3-3\cdot(-2)+2=-8+6+2=0,$$

$$y(0)=2,$$

$$y(2)=2^3-3\cdot2+2=8-6+2=4.$$

Получаем точки $$(-2;0),\ (0;2),\ (2;4).$$

Касательная параллельна оси $$Ox$$, если $$y’=0.$$ Тогда

$$3x^2-3=0$$

$$x^2-1=0$$

$$x=\pm1.$$

Соответствующие точки графика: $$(-1;4)$$ и $$ (1;0).$$

Ответ

$$y’=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;1).$$

Точка максимума: $$(-1;4),$$ точка минимума: $$ (1;0).$$

Касательные параллельны оси $$Ox$$ в точках $$(-1;4)$$ и $$ (1;0).$$