Упр.1533 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Исследовать с помощью производной функцию $$y=x^3-3x+2$$ и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси $$Ох$$.

Найдём производную функции:

$$y=x^3-3x+2$$

$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

Критические точки получаем из уравнения $$y’=0$$:

$$3(x-1)(x+1)=0$$

$$x=-1,\; x=1$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)+2=-1+3+2=4$$

$$y(1)=1^3-3\cdot1+2=1-3+2=0$$

Исследуем знак производной:

$$y’=3(x-1)(x+1)$$

При $$x<-1$$ и $$x>1$$ производная положительна, значит функция возрастает.
При $$-1<x<1$$ производная отрицательна, значит функция убывает.

Следовательно, точка $$(-1;4)$$ — точка максимума, а точка $$(1;0)$$ — точка минимума.

Для построения графика отметим также несколько точек:

Касательная параллельна оси $$Ox$$, если $$y’=0$$. Поэтому такие точки — это точки экстремума:

$$(-1;4),\ (1;0)$$

Ответ

Функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty)$$, убывает на $$(-1;1)$$; максимум в точке $$(-1;4)$$, минимум в точке $$(1;0)$$. Касательные параллельны оси $$Ox$$ в точках $$(-1;4)$$ и $$(1;0)$$.