Упр.1532 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f (х) = х3 + 3х2 — 9х + 4;
2) f(х) = х4 — 2х5 + 5.

1. $$f(x)=x^3+3x^2-9x+4$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)$$

   Критические точки:

   $$3(x+3)(x-1)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=1$$

   Исследуем знак производной:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>1$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } -3<x<1$$

   Значит, в точке $$x=-3$$ функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому это точка максимума, а в точке $$x=1$$ — от убывания к возрастанию, значит это точка минимума.

2. $$f(x)=x^4-2x^5+5$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3-10x^4=2x^3(2-5x)$$

   Критические точки:

   $$2x^3(2-5x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\frac{2}{5}$$

   Исследуем знак производной:

   $$f'(x)<0 \text{ при } x<0$$

   $$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<\frac{2}{5}$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x>\frac{2}{5}$$

   Следовательно, в точке $$x=0$$ — минимум, а в точке $$x=\frac{2}{5}$$ — максимум.

Ответ

1) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

2) $$x=0$$ — точка минимума, $$x=\frac{2}{5}$$ — точка максимума.