Упр.1532 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти точки экстремума функции: 1) $$f(x)=x^3+3x^2-9x+4$$; 2) $$f(x)=x^4-2x^5+5$$.

1) $$f(x)=x^3+3x^2-9x+4$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)$$

Критические точки:

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=1$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>1$$

$$f'(x)<0 \text{ при } -3<x<1$$

Значит, в точке $$x=-3$$ функция меняет возрастание на убывание, поэтому это точка максимума, а в точке $$x=1$$ — точка минимума.

2) $$f(x)=x^4-2x^5+5$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-10x^4=2x^3(2-5x)$$

Критические точки:

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\frac{2}{5}$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)<0 \text{ при } x<0$$

$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<\frac{2}{5}$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x>\frac{2}{5}$$

Следовательно, $$x=0$$ — точка минимума, а $$x=\frac{2}{5}$$ — точка максимума.

Ответ

1) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
2) $$x=0$$ — точка минимума, $$x=\frac{2}{5}$$ — точка максимума.