Упр.1531 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания $$R$$ и высотой $$Н$$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Из подобия треугольников для конуса и сечения с цилиндром получаем:

$$\frac{h}{H}=\frac{R-r}{R},$$

откуда

$$h=\frac{H(R-r)}{R}.$$

Тогда объём цилиндра равен

$$V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\cdot \frac{H(R-r)}{R}=\frac{\pi H}{R}(Rr^2-r^3).$$

Найдём производную:

$$V'(r)=\frac{\pi H}{R}(2Rr-3r^2)=\frac{\pi H}{R}\,r(2R-3r).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{\pi H}{R}\,r(2R-3r)=0,$$

откуда

$$r=0 \quad \text{или} \quad r=\frac{2R}{3}.$$

Ненулевое значение даёт максимум объёма, значит

$$r=\frac{2R}{3}.$$

Тогда

$$h=\frac{H\left(R-\frac{2R}{3}\right)}{R}=\frac{H}{3}.$$

Ответ: $$r=\frac{2R}{3},\quad h=\frac{H}{3}.$$