Упр.1531 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1531 Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания R и высотой Н, найти цилиндр наибольшего объёма. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1531 1111

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Из подобия треугольников в осевом сечении конуса получаем:

$$\frac{h}{H}=\frac{R-r}{R}$$

Отсюда

$$h=\frac{H(R-r)}{R}$$

Тогда объём цилиндра равен

$$V=\pi r^2h=\pi r^2\cdot \frac{H(R-r)}{R}=\frac{\pi H}{R}(Rr^2-r^3)$$

Найдём производную:

$$V'(r)=\frac{\pi H}{R}(2Rr-3r^2)=\frac{\pi H}{R}\,r(2R-3r)$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{\pi H}{R}\,r(2R-3r)=0$$

Отсюда $$r=0$$ или $$r=\frac{2R}{3}$$. Ненулевое значение даёт максимум объёма.

Тогда

$$h=\frac{H\left(R-\frac{2R}{3}\right)}{R}=\frac{H}{3}$$

Ответ

Наибольший объём имеет цилиндр с радиусом основания $$\frac{2R}{3}$$ и высотой $$\frac{H}{3}$$.