Упр.1528 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1528 Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса R. найти цилиндр наибольшего объёма.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда в осевом сечении цилиндра диагональ прямоугольника равна диаметру сферы:

$$ (2r)^2+h^2=(2R)^2. $$

Отсюда

$$ 4r^2+h^2=4R^2,\qquad r^2=R^2-\frac{h^2}{4}. $$

Объём цилиндра:

$$ V=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)=\pi R^2h-\frac{\pi}{4}h^3. $$

Найдём максимум функции $$V(h)$$:

$$ V'(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2. $$

При максимуме $$V'(h)=0$$, значит

$$ \pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2=0, $$

$$ h^2=\frac{4R^2}{3}, \qquad h=\frac{2R}{\sqrt3}. $$

Тогда

$$ r^2=R^2-\frac{h^2}{4} =R^2-\frac{1}{4}\cdot\frac{4R^2}{3} =R^2-\frac{R^2}{3} =\frac{2R^2}{3}, $$

то есть

$$ r=R\sqrt{\frac23}. $$

Ответ

$$ h=\frac{2R}{\sqrt3},\qquad r=R\sqrt{\frac23}. $$