Упр.1528 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса $$R$$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в сферу радиуса $$R$$, то диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру сферы:

$$(2r)^2+h^2=(2R)^2.$$

Отсюда

$$4r^2+h^2=4R^2,\qquad r^2=R^2-\frac{h^2}{4}.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)=\pi R^2h-\frac{\pi}{4}h^3.$$

Найдём максимум функции $$V(h)$$:

$$V'(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2.$$

При максимуме $$V'(h)=0$$, значит

$$\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2=0,$$

$$h^2=\frac{4R^2}{3}, \qquad h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$r^2=R^2-\frac{h^2}{4} =R^2-\frac{1}{4}\cdot\frac{4R^2}{3} =R^2-\frac{R^2}{3} =\frac{2R^2}{3},$$

то есть

$$r=R\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Следовательно, наибольший объём имеет цилиндр с параметрами

$$r=R\sqrt{\frac{2}{3}},\qquad h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Ответ: $$r=R\sqrt{\frac{2}{3}},\ h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$