Упр.1527 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен $$p$$, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Периметр осевого сечения равен $$p$$, значит

$$2(2r+h)=p,$$

откуда

$$h=\frac{p}{2}-2r.$$

Тогда объём цилиндра

$$V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\left(\frac{p}{2}-2r\right)=\frac{1}{2}\pi pr^2-2\pi r^3.$$

Найдём производную:

$$V'(r)=\pi pr-6\pi r^2=\pi r(p-6r).$$

Критическая точка при

$$V'(r)=0 \quad \Rightarrow \quad r=\frac{p}{6}.$$

Это точка максимума, так как при $$0<r<\frac{p}{6}$$ производная положительна, а при $$r>\frac{p}{6}$$ — отрицательна.

Вычислим максимальный объём:

$$V_{\max}=V\left(\frac{p}{6}\right)=\pi\left(\frac{p}{6}\right)^2\left(\frac{p}{2}-2\cdot\frac{p}{6}\right)=\pi\cdot\frac{p^2}{36}\cdot\frac{p}{6}=\frac{\pi p^3}{216}.$$

Ответ: $$\frac{\pi p^3}{216}$$.