Упр.1527 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1527 Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен р, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1527 1111

Подробный ответ

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда осевое сечение — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому его периметр равен

$$2(2r+h)=p.$$

Отсюда

$$4r+2h=p, \qquad h=\frac{p}{2}-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2\left(\frac{p}{2}-2r\right)=\frac{1}{2}\pi pr^2-2\pi r^3.$$

Найдём максимум функции $$V(r)$$:

$$V'(r)=\pi pr-6\pi r^2=\pi r(p-6r).$$

Критические точки:

$$V'(r)=0 \;\Rightarrow\; r=0 \text{ или } r=\frac{p}{6}.$$

При $$r=\frac{p}{6}$$ получаем максимум, так как при $$0<r<\frac{p}{6}$$ производная положительна, а при $$r>\frac{p}{6}$$ — отрицательна.

Тогда

$$h=\frac{p}{2}-2\cdot\frac{p}{6}=\frac{p}{6}.$$