Упр.1526 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. В конус с заданным объёмом $$V$$ вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным $$a$$. При каком значении $$a$$ объём пирамиды будет наибольшим?

Так как объём конуса задан, то его высота и радиус основания постоянны. Следовательно, объём пирамиды будет наибольшим тогда, когда наибольшей будет площадь её основания — равнобедренного треугольника.

Обозначим через $$R$$ радиус основания конуса, а через $$a$$ — угол при вершине равнобедренного треугольника. Тогда его основание равно

$$c=2R\sin a.$$

Равные углы при основании треугольника:

$$\frac{\pi-a}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{a}{2}.$$

По теореме синусов для треугольника:

$$\frac{c}{\sin a}=\frac{b}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{a}{2}\right)}=\frac{b}{\cos\frac{a}{2}}.$$

Отсюда

$$b=\frac{c\cos\frac{a}{2}}{\sin a}=\frac{2R\sin a\cos\frac{a}{2}}{\sin a}=2R\cos\frac{a}{2}.$$

Тогда площадь основания пирамиды равна

$$S(a)=\frac12 b^2\sin a=\frac12\cdot 4R^2\cos^2\frac{a}{2}\cdot \sin a=2R^2\cos^2\frac{a}{2}\sin a.$$

Используем формулу $$\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}$$:

$$S(a)=R^2(1+\cos a)\sin a.$$

Найдём производную:

$$S'(a)=R^2\bigl((1+\cos a)\cos a-\sin^2 a\bigr)=R^2\bigl(2\cos^2 a+\cos a-1\bigr).$$

Приравниваем к нулю:

$$2\cos^2 a+\cos a-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$\cos a=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos a=-1.$$

Значение $$\cos a=-1$$ не подходит для треугольника, поэтому остаётся

$$\cos a=\frac12,$$

откуда

$$a=\frac{\pi}{3}.$$

При этом значении площадь основания, а значит и объём пирамиды, максимальны.

Ответ: $$\frac{\pi}{3}$$.