Упр.1526 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1526 В конус с заданным объёмом V вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным а. При каком значении а объём пирамиды будет наибольшим? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1526 1111

Объём конуса задан и не меняется, значит высота конуса и радиус его основания постоянны. Поэтому объём вписанной пирамиды будет наибольшим тогда, когда максимальна площадь её основания — равнобедренного треугольника.

Пусть боковые стороны треугольника равны $$b$$, а основание — $$c$$. Тогда

$$c=2R\sin \alpha.$$

В равнобедренном треугольнике

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{\pi-\alpha}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}.$$

По теореме синусов:

$$\frac{c}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{b}{\cos\frac{\alpha}{2}}.$$

Отсюда

$$b=\frac{c\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha}=\frac{2R\sin \alpha\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha}=2R\cos\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда площадь основания пирамиды равна

$$S(\alpha)=\frac12 b^2\sin \alpha=\frac12\cdot 4R^2\cos^2\frac{\alpha}{2}\sin \alpha=2R^2\cos^2\frac{\alpha}{2}\sin \alpha.$$

Используем формулу $$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}$$:

$$S(\alpha)=R^2(1+\cos \alpha)\sin \alpha.$$

Найдём максимум функции $$f(\alpha)=(1+\cos \alpha)\sin \alpha$$:

$$ f'(\alpha)=(-\sin \alpha)\sin \alpha+(1+\cos \alpha)\cos \alpha =\cos \alpha+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. $$

Так как $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$$, получаем

$$ f'(\alpha)=2\cos^2\alpha+\cos \alpha-1. $$

Решим уравнение $$f'(\alpha)=0$$:

$$ 2\cos^2\alpha+\cos \alpha-1=0. $$

Пусть $$t=\cos \alpha$$. Тогда

$$ 2t^2+t-1=0, $$

$$ (2t-1)(t+1)=0. $$

Отсюда $$t=\frac12$$ или $$t=-1$$. Значение $$\cos \alpha=-1$$ не подходит для внутреннего угла треугольника, поэтому

$$\cos \alpha=\frac12,$$

значит

$$\alpha=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

$$\alpha=\frac{\pi}{3}$$