Упр.1525 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1525 Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1525 1111

Обозначим через $$r$$ радиус основания конуса, через $$h$$ — его высоту.

Так как конус вписан в шар радиуса $$R$$, то в осевом сечении получаем прямоугольный треугольник, для которого

$$r^2=R^2-(h-R)^2.$$

Тогда

$$r^2=R^2-\bigl(h^2-2Rh+R^2\bigr)=2Rh-h^2.$$

Объём конуса:

$$V(h)=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi h(2Rh-h^2)=\frac13\pi(2Rh^2-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac13\pi(4Rh-3h^2)=\frac13\pi h(4R-3h).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac13\pi h(4R-3h)=0.$$

Отсюда $$h=0$$ или $$h=\frac{4R}{3}$$. Ненулевое значение даёт максимум объёма.

Ответ

$$\frac{4R}{3}$$