Упр.1525 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $$R$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота.

Так как конус вписан в шар радиуса $$R$$, то в осевом сечении получаем прямоугольный треугольник, для которого

$$r^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2.$$

Тогда объём конуса равен

$$V(h)=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi h(2Rh-h^2)=\frac13\pi(2Rh^2-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac13\pi(4Rh-3h^2)=\frac13\pi h(4R-3h).$$

Приравниваем её к нулю:

$$\frac13\pi h(4R-3h)=0.$$

Отсюда $$h=0$$ или $$h=\frac{4R}{3}$$. Ненулевое значение даёт максимум объёма.

Ответ: $$\frac{4R}{3}$$.