Упр.1524 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $$R$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в шар радиуса $$R$$, то в осевом сечении получаем прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Поэтому

$$(2r)^2+h^2=(2R)^2,$$

откуда

$$4r^2=4R^2-h^2,\qquad r^2=R^2-\frac{h^2}{4}.$$

Объём цилиндра равен

$$V=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)=\pi R^2h-\frac{\pi}{4}h^3.$$

Найдём максимум функции $$V(h)$$:

$$V'(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2.$$

При максимуме $$V'(h)=0$$, значит

$$\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2=0,$$

$$h^2=\frac{4R^2}{3},$$

$$h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно, высота цилиндра наибольшего объёма равна

$$\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Ответ: $$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$.