Упр.1523 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса $$R$$ и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в шар радиуса $$R$$, то диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру шара:

$$(2r)^2+h^2=(2R)^2$$

Отсюда

$$h^2=4R^2-4r^2,\qquad h=2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S=2\pi r h=2\pi r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}.$$

Найдём максимум функции $$S(r)$$ на промежутке $$0<r<R$$:

$$S'(r)=4\pi\left(\sqrt{R^2-r^2}+r\cdot \frac{-r}{\sqrt{R^2-r^2}}\right) =4\pi\cdot \frac{R^2-2r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}.$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$R^2-2r^2=0 \quad \Rightarrow \quad r^2=\frac{R^2}{2} \quad \Rightarrow \quad r=\frac{R}{\sqrt{2}}.$$

Именно при этом значении радиуса площадь боковой поверхности максимальна.

Ответ: $$\frac{R}{\sqrt{2}}$$.