Упр.1522 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр, если его объём равен $$V$$?

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

По условию объём равен $$V$$, значит

$$V=\pi r^2h,\qquad h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра:

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r},\qquad r>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4\pi r^3-2V=0,\qquad r^3=\frac{V}{2\pi},\qquad r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Это точка минимума, так как при переходе через неё производная меняет знак с минуса на плюс.

Тогда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}}=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Минимальная площадь поверхности:

$$S_{\min}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}+2\pi\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\cdot 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=3\sqrt[3]{2\pi V^2}.$$

Ответ

$$3\sqrt[3]{2\pi V^2}$$