Упр.1521 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1521 Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм, чтобы его объём был наибольшим? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1521 1111

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота. Тогда по условию образующая равна $$20$$ дм, значит

$$r^2+h^2=20^2=400,$$

откуда

$$r^2=400-h^2.$$

Объём конуса:

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(400-h^2)h=\frac13\pi(400h-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac13\pi(400-3h^2).$$

Для максимума объёма приравняем производную к нулю:

$$400-3h^2=0,$$

$$3h^2=400,$$

$$h^2=\frac{400}{3},$$

$$h=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}.$$

Так как $$h>0$$, получаем искомую высоту.

Ответ

$$\frac{20\sqrt3}{3}$$ дм.