Упр.1521 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Какой должна быть высота конуса с образующей $$20\ \text{дм}$$, чтобы его объём был наибольшим?

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота, а образующая равна $$20$$ дм. Тогда по теореме Пифагора

$$r^2+h^2=20^2=400,$$

откуда

$$r^2=400-h^2.$$

Объём конуса:

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(400-h^2)h=\frac13\pi(400h-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac13\pi(400-3h^2).$$

Для максимума объёма приравняем производную к нулю:

$$400-3h^2=0,$$

$$3h^2=400,$$

$$h^2=\frac{400}{3},$$

$$h=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}.$$

Так как $$h>0$$, получаем искомую высоту.

Ответ: $$\frac{20\sqrt3}{3}$$ дм.