Упр.1519 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1519 На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, заданной на отрезке [-1; 1], а точка К является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1519 1111

Подробный ответ

Пусть вершины треугольника, симметричные относительно оси $$Oy$$, имеют координаты $$A(-x;4x^2)$$ и $$B(x;4x^2)$$, где $$0<x\le 1$$.

Точка $$K(3;6)$$ является серединой одной из сторон треугольника. Пусть третья вершина имеет координаты $$C(x_c;y_c)$$. Тогда из формулы координат середины:

$$ 3=\frac{x+x_c}{2}, \qquad 6=\frac{4x^2+y_c}{2}. $$

Отсюда

$$ x_c=6-x, \qquad y_c=12-4x^2. $$

Высота треугольника к основанию $$AB$$ равна

$$ h=y_c-4x^2=12-8x^2. $$

Тогда площадь треугольника:

$$ S(x)=\frac12\cdot AB\cdot h=\frac12\cdot 2x\cdot(12-8x^2)=12x-8x^3. $$

Найдём максимум функции:

$$ S'(x)=12-24x^2. $$

$$ S'(x)=0 \;\Rightarrow\; 12-24x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\frac1{\sqrt2}. $$

Так как $$0<x\le 1$$, то при $$x=\frac1{\sqrt2}$$ площадь максимальна.

$$ S_{\max}=S\!\left(\frac1{\sqrt2}\right)=12\cdot\frac1{\sqrt2}-8\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^3 =6\sqrt2-2\sqrt2=4\sqrt2. $$