Упр.1519 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. На координатной плоскости дана точка $$K(3; 6)$$. Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси $$Oy$$ и лежат на дуге параболы $$y=4x^2$$, заданной на отрезке $$[-1; 1]$$, а точка $$K$$ является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Пусть одна из симметричных вершин треугольника имеет абсциссу $$x$$, тогда вторая вершина имеет абсциссу $$-x$$, а их ординаты равны $$4x^2$$ и $$4x^2$$.

Обозначим третью вершину через $$C(x_c;y_c)$$. Так как точка $$K(3;6)$$ — середина одной из сторон, то для середины отрезка получаем:

$$3=\frac{x+ x_c}{2}, \qquad 6=\frac{4x^2+y_c}{2}.$$

Отсюда

$$x_c=6-x, \qquad y_c=12-4x^2.$$

Высота треугольника, опущенная на основание между симметричными вершинами, равна

$$h=(12-4x^2)-4x^2=12-8x^2.$$

Основание треугольника:

$$AB=x-(-x)=2x.$$

Тогда площадь треугольника как функция от $$x$$:

$$S(x)=\frac12\cdot 2x\cdot(12-8x^2)=12x-8x^3.$$

Найдём максимум этой функции на отрезке $$0<x\le 1$$:

$$S'(x)=12-24x^2.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$12-24x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\frac1{\sqrt2}.$$

Это точка максимума, так как при $$0<x<\frac1{\sqrt2}$$ производная положительна, а при $$\frac1{\sqrt2}<x\le 1$$ — отрицательна.

Вычислим максимальную площадь:

$$S\left(\frac1{\sqrt2}\right)=12\cdot\frac1{\sqrt2}-8\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^3=6\sqrt2-2\sqrt2=4\sqrt2.$$

Ответ

$$4\sqrt2$$