Упр.1518 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. На координатной плоскости даны точки $$A(3; -1)$$ и $$D(4; -1)$$. Рассматриваются трапеции, у которых отрезок $$AD$$ является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы $$y=1-x^2$$, заданной на отрезке $$[-1; 1]$$. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найдите эту площадь.

Пусть вершины второго основания трапеции имеют абсциссы $$x$$ и $$-x$$, где $$0<x\le 1$$, так как точки лежат на дуге параболы $$y=1-x^2$$, а функция чётная.

Тогда длина основания $$AD$$ равна

$$AD=4-3=1.$$

Длина второго основания:

$$BC=x-(-x)=2x.$$

Высота трапеции равна расстоянию от точки параболы до прямой $$y=-1$$:

$$h=(1-x^2)-(-1)=2-x^2.$$

Площадь трапеции:

$$S(x)=\frac12(AD+BC)\cdot h=\frac12(1+2x)(2-x^2).$$

Раскроем скобки:

$$S(x)=\frac12(2+4x-x^2-2x^3)=1+2x-\frac{x^2}{2}-x^3.$$

Найдём максимум функции на отрезке $$[0;1]$$:

$$S'(x)=2-x-3x^2.$$

Решим уравнение $$S'(x)=0$$:

$$2-x-3x^2=0$$

$$3x^2+x-2=0$$

$$D=1+24=25,$$

$$x_{1}=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad x_{2}=\frac{-1+5}{6}=\frac23.$$

На отрезке $$[0;1]$$ подходит только $$x=\frac23$$. Это точка максимума.

Вычислим площадь:

$$S\!\left(\frac23\right)=\frac12\left(1+\frac43\right)\left(2-\frac49\right)=\frac12\cdot\frac73\cdot\frac{14}{9}=\frac{49}{27}.$$

Ответ: $$\frac{49}{27}$$.