Упр.1517 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. На параболе $$y=x^2$$ найти точку, расстояние от которой до точки $$A\left(2;\frac{1}{2}\right)$$ является наименьшим.

Пусть искомая точка на параболе имеет координаты $$\left(x;\,x^2\right).$$ Тогда квадрат расстояния до точки $$A\left(2;\,\frac12\right)$$ равен

$$d^2(x)=(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2.$$

Так как расстояние минимально тогда и только тогда, когда минимально его квадрат, рассмотрим функцию

$$f(x)=(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2(x-2)+2\left(x^2-\frac12\right)\cdot 2x =2x-4+4x^3-2x =4x^3-4.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4x^3-4=0,$$

$$x^3=1,$$

$$x=1.$$

Тогда

$$y=x^2=1.$$

Следовательно, искомая точка — $$\left(1;\,1\right).$$

Ответ: $$\left(1;\,1\right).$$