Упр.1516 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1519 На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, заданной на отрезке [-1; 1], а точка К является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1516 1111

Найдём производную функции

$$f(x)=2\ln^3 x-9\ln^2 x+12\ln x.$$

Тогда

$$f'(x)=2\cdot 3\ln^2 x\cdot \frac1x-9\cdot 2\ln x\cdot \frac1x+12\cdot \frac1x=\frac{6}{x}\left(\ln^2 x-3\ln x+2\right).$$

Критические точки найдём из уравнения

$$\frac{6}{x}\left(\ln^2 x-3\ln x+2\right)=0.$$

Так как $$x>0,$$ получаем

$$\ln^2 x-3\ln x+2=0.$$

Положим $$t=\ln x.$$ Тогда

$$t^2-3t+2=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0,$$

откуда

$$t=1 \text{ или } t=2.$$

Следовательно,

$$x=e \text{ или } x=e^2.$$

Теперь вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f\left(e^{3/4}\right)=2\left(\frac34\right)^3-9\left(\frac34\right)^2+12\cdot \frac34=\frac{25}{32},$$

$$f(e)=2\cdot 1^3-9\cdot 1^2+12\cdot 1=5,$$

$$f(e^2)=2\cdot 2^3-9\cdot 2^2+12\cdot 2=4,$$

$$f(e^3)=2\cdot 3^3-9\cdot 3^2+12\cdot 3=9.$$

Сравнивая полученные значения, получаем:

$$y_{\min}=4,\qquad y_{\max}=9.$$

Ответ

$$4;\ 9$$