Упр.1516 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1519. На координатной плоскости дана точка $$K(3; 6)$$. Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси $$Oy$$ и лежат на дуге параболы $$y=4x^2$$, заданной на отрезке $$[-1; 1]$$, а точка $$K$$ является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Найдём производную функции

$$f(x)=2\ln^3 x-9\ln^2 x+12\ln x.$$

Тогда

$$f'(x)=6\ln^2 x\cdot \frac1x-18\ln x\cdot \frac1x+\frac{12}{x}=\frac{6}{x}\left(\ln^2 x-3\ln x+2\right).$$

Критические точки найдём из уравнения

$$\ln^2 x-3\ln x+2=0.$$

Положим $$t=\ln x$$. Тогда

$$t^2-3t+2=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0,$$

откуда

$$\ln x=1 \quad \text{или} \quad \ln x=2.$$

Следовательно,

$$x=e \quad \text{или} \quad x=e^2.$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f\!\left(e^{3/4}\right)=2\left(\frac34\right)^3-9\left(\frac34\right)^2+12\cdot \frac34=\frac{25}{32},$$

$$f(e)=2\cdot 1^3-9\cdot 1^2+12\cdot 1=5,$$

$$f(e^2)=2\cdot 2^3-9\cdot 2^2+12\cdot 2=4,$$

$$f(e^3)=2\cdot 3^3-9\cdot 3^2+12\cdot 3=9.$$

Наибольшее значение функции на отрезке равно $$9$$, а наименьшее — $$4$$.

Ответ

$$4;\ 9$$