Упр.1515 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1515 Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х2 (2х — 3) — 12 (Зх — 2) на отрезке [-3; 6]. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1515 1111

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^2(2x-3)-12(3x-2)=2x^3-3x^2-36x+24.$$

$$f'(x)=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)=6(x+2)(x-3).$$

Критические точки на отрезке $$[-3;6]$$: $$x=-2$$ и $$x=3$$.

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f(-3)=2\cdot(-27)-3\cdot 9-36\cdot(-3)+24=51,$$

$$f(-2)=2\cdot(-8)-3\cdot 4-36\cdot(-2)+24=68,$$

$$f(3)=2\cdot 27-3\cdot 9-36\cdot 3+24=-57,$$

$$f(6)=2\cdot 216-3\cdot 36-36\cdot 6+24=132.$$

Сравниваем полученные значения: наибольшее значение функции равно $$132$$, наименьшее — $$-57$$.

Ответ

$$y_{\min}=-57,\quad y_{\max}=132.$$