Упр.1515 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=x^2(2x-3)-12(3x-2)$$ на отрезке $$[-3;6]$$.

Найдём производную функции $$f(x)=x^2(2x-3)-12(3x-2).$$

Раскроем скобки:

$$f(x)=2x^3-3x^2-36x+24.$$

Тогда

$$f'(x)=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)=6(x+2)(x-3).$$

Критические точки на отрезке $$[-3;6]$$: $$x=-2$$ и $$x=3.$$

Найдём значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f(-3)=2\cdot(-27)-3\cdot 9-36\cdot(-3)+24=51,$$

$$f(-2)=2\cdot(-8)-3\cdot 4-36\cdot(-2)+24=68,$$

$$f(3)=2\cdot 27-3\cdot 9-36\cdot 3+24=-57,$$

$$f(6)=2\cdot 216-3\cdot 36-36\cdot 6+24=132.$$

Сравниваем полученные значения:

$$51,\ 68,\ -57,\ 132.$$

Наименьшее значение функции равно $$-57,$$ наибольшее — $$132.$$

Ответ: $$y_{\min}=-57,\ y_{\max}=132.$$