Упр.1514 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M\left(0{,}5\pi;-\frac{2}{\pi}\right)$$.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x.$$

Интегрируем по частям:

$$F(x)=\int \left(x^{-2}+\cos x\right)\,dx=-x^{-1}+\sin x+C=-\frac{1}{x}+\sin x+C.$$

Используем точку $$M\left(\frac{\pi}{2};-\frac{2}{\pi}\right).$$ Подставим её координаты в найденную первообразную:

$$-\frac{2}{\pi}=-\frac{1}{\pi/2}+\sin\frac{\pi}{2}+C=-\frac{2}{\pi}+1+C.$$

Отсюда

$$C=-1.$$

Следовательно, искомая первообразная:

$$F(x)=-\frac{1}{x}+\sin x-1.$$

Ответ: $$F(x)=\sin x-\frac{1}{x}-1.$$