Упр.1514 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1514 Для функции f (х) = х^-2 + cos х найти первообразную, график которой проходит через точку М (0,5пи;-2/пи). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1514 1111

Подробный ответ

Найдём первообразную для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x.$$

Интегрируем по частям:

$$F(x)=\int \left(x^{-2}+\cos x\right)\,dx=\int x^{-2}\,dx+\int \cos x\,dx=-x^{-1}+\sin x+C.$$

То есть

$$F(x)=-\frac{1}{x}+\sin x+C.$$

График первообразной проходит через точку $$M\left(0{,}5\pi;\,-\frac{2}{\pi}\right),$$ значит, подставим эти координаты в формулу:

$$-\frac{1}{0{,}5\pi}+\sin\frac{\pi}{2}+C=-\frac{2}{\pi}.$$

Так как $$\frac{1}{0{,}5\pi}=\frac{2}{\pi}$$ и $$\sin\frac{\pi}{2}=1,$$ получаем:

$$-\frac{2}{\pi}+1+C=-\frac{2}{\pi}.$$

Отсюда

$$1+C=0,\qquad C=-1.$$