Упр.1513 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. В правильной четырёхугольной призме диагональ равна $$2\sqrt{3}$$. При какой высоте призмы её объём наибольший?

Пусть $$x$$ — сторона основания, $$h$$ — высота призмы. Тогда диагональ призмы удовлетворяет равенству

$$x^2+h^2=(2\sqrt{3})^2=12.$$

Следовательно,

$$x^2=12-h^2.$$

Объём призмы равен

$$V=x^2h=(12-h^2)h=12h-h^3.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=12-3h^2.$$

Для максимума объёма нужно, чтобы

$$V'(h)=0,$$

то есть

$$12-3h^2=0,$$

$$h^2=4,$$

$$h=2$$

так как $$h>0$$.

При этой высоте объём призмы наибольший.

Ответ: $$2$$.