Упр.1512 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. В правильной пирамиде $$SABC$$ из вершины $$S$$ проведена высота $$SO$$. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что $$SO+AC=9$$ и $$1\le AC\le 8$$.

Пусть $$ABC$$ — равностороннее основание пирамиды, $$AB=BC=CA=x$$, а $$SO=h$$ — высота пирамиды. Тогда по условию

$$x+h=9,$$

откуда $$h=9-x.$$

Площадь основания равна

$$S=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда объём пирамиды

$$V(x)=\frac13Sh=\frac13\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot(9-x)=\frac{\sqrt{3}}{12}(9x^2-x^3).$$

Найдём производную:

$$V'(x)=\frac{\sqrt{3}}{12}(18x-3x^2)=\frac{3\sqrt{3}}{12}(6x-x^2)=\frac{\sqrt{3}}{4}x(6-x).$$

На промежутке $$1\le x\le 8$$ критическая точка: $$x=6.$$

Поскольку при $$1<x<6$$ производная положительна, а при $$6<x<8$$ отрицательна, объём достигает наибольшего значения при

$$x=6.$$

Ответ: $$6$$.