Упр.1511 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $$54\pi\ \text{см}^2$$, если известно, что радиус основания не меньше $$2\ \text{см}$$ и не больше $$4\ \text{см}$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда площадь полной поверхности равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh=54\pi.$$

Отсюда

$$2\pi rh=54\pi-2\pi r^2,$$

$$h=\frac{54\pi-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{27-r^2}{r}.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2\cdot \frac{27-r^2}{r}=\pi(27r-r^3).$$

Найдём производную:

$$V'(r)=\pi(27-3r^2)=3\pi(9-r^2).$$

На отрезке $$2\le r\le 4$$ производная обращается в нуль при $$r=3$$. При $$2\le r<3$$ имеем $$V'(r)>0$$, а при $$3<r\le 4$$ — $$V'(r)<0$$, значит, в точке $$r=3$$ достигается максимум объёма.

Найдём соответствующую высоту:

$$h=\frac{27-3^2}{3}=\frac{18}{3}=6.$$

Тогда

$$V_{\max}=\pi\cdot 3^2\cdot 6=54\pi\ \text{см}^3.$$

Ответ

$$54\pi\ \text{см}^3$$