Упр.1510 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Периметр осевого сечения цилиндра $$6\ \text{дм}$$. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Периметр осевого сечения — это периметр прямоугольника со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому

$$2(2r+h)=6,$$

откуда

$$2r+h=3,\qquad h=3-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2(3-2r)=3\pi r^2-2\pi r^3.$$

Найдём максимум функции $$V(r)$$:

$$V'(r)=6\pi r-6\pi r^2=6\pi r(1-r).$$

Критические точки:

$$6\pi r(1-r)=0 \Rightarrow r=0 \text{ или } r=1.$$

Так как $$0<r<\frac{3}{2}$$, а при $$r=1$$ производная меняет знак с плюса на минус, именно при этом значении объём максимален.

Ответ: $$1$$ дм.