Упр.1508 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$y=\sin x+\sqrt{2}\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$

Найдём значения функции $$y=\sin x+2\sqrt2\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

Вычислим производную:

$$y'(x)=\cos x-2\sqrt2\sin x.$$

Найдём стационарные точки:

$$\cos x-2\sqrt2\sin x=0,$$

$$\cos x=2\sqrt2\sin x,$$

$$\tg x=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ такая точка есть, значит, нужно сравнить значение функции в концах отрезка и в стационарной точке.

Если $$\tg x=\frac{\sqrt2}{4},$$ то

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{8}}}=\frac{2\sqrt2}{3},$$

$$\sin x=\tg x\cdot \cos x=\frac{\sqrt2}{4}\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=\frac13.$$

Тогда

$$y=\frac13+2\sqrt2\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=\frac13+\frac{8}{3}=3.$$

Теперь найдём значения на концах отрезка:

$$y(0)=\sin 0+2\sqrt2\cos 0=2\sqrt2,$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{2}+2\sqrt2\cos \frac{\pi}{2}=1.$$

Сравниваем полученные значения: $$1,\;2\sqrt2,\;3.$$

Наименьшее значение функции равно $$1,$$ наибольшее — $$3.$$

Ответ: $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=3.$$