Упр.1507 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1507. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$y=2\sin x+\cos 2x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

Найдём производную функции $$y=2\sin x+\cos 2x$$:

$$y’ = 2\cos x — 2\sin 2x = 2\cos x — 4\sin x\cos x = 2\cos x(1-2\sin x).$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$\cos x \ge 0$$, поэтому критические точки определяются из уравнения

$$1-2\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{6}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(0)=2\sin 0+\cos 0=0+1=1,$$

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac12+\frac12=\frac32,$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2-1=1.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$1$$, а наибольшее — $$\frac32$$.

Ответ: $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=\frac32.$$