Упр.1506 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1506

Подробный ответ

$$y=\frac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1}$$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$ y'(x)=\frac{(6x+4)(x^2+x+1)-(3x^2+4x+4)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} $$
Упростим числитель:
$$ (6x+4)(x^2+x+1)=6x^3+10x^2+10x+4 $$
$$ (3x^2+4x+4)(2x+1)=6x^3+11x^2+12x+4 $$
Тогда
$$ y'(x)=\frac{-x^2-2x}{(x^2+x+1)^2} =\frac{-x(x+2)}{(x^2+x+1)^2} $$
Так как $$\,(x^2+x+1)^2>0\,$$ при всех $$x$$, знак производной определяется числителем:
$$ -x(x+2)=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2,\; x=0 $$
Исследуем знак производной:
$$ y'(x)<0 \text{ при } x<-2,\qquad y'(x)>0 \text{ при } -2<x<0,\qquad y'(x)<0 \text{ при } x>0 $$
Значит, в точке $$x=-2$$ — минимум, а в точке $$x=0$$ — максимум.
$$y=\frac{x^2+6x+3}{3x+4}$$
Область определения: $$3x+4\neq 0$$, то есть $$x\neq -\frac{4}{3}$$.
Найдём производную:
$$ y'(x)=\frac{(2x+6)(3x+4)-3(x^2+6x+3)}{(3x+4)^2} $$
$$ y'(x)=\frac{6x^2+26x+24-3x^2-18x-9}{(3x+4)^2} =\frac{3x^2+8x+15}{(3x+4)^2} $$
Рассмотрим числитель:
$$ D=8^2-4\cdot 3\cdot 15=64-180=-116<0 $$
Так как старший коэффициент положителен, то $$3x^2+8x+15>0$$ при всех $$x$$. Следовательно,
$$ y'(x)>0 \quad \text{при всех } x\neq -\frac{4}{3} $$
Функция возрастает на каждом промежутке своей области определения и не имеет точек экстремума.