Упр.1505 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1505 1) у = (х — 1)3 (х — 2)2;
2) у = 4 + (6 — х)4.

1) Рассмотрим функцию $$y=(x-1)^3(x-2)^2.$$

Найдём производную:

$$ y’ = 3(x-1)^2(x-2)^2 + (x-1)^3\cdot 2(x-2) $$

Вынесем общий множитель:

$$ y’=(x-1)^2(x-2)\bigl(3(x-2)+2(x-1)\bigr) $$

$$ y’=(x-1)^2(x-2)(5x-8) $$

Критические точки:

$$ (x-1)^2(x-2)(5x-8)=0 $$

$$ x=1,\quad x=2,\quad x=\frac85 $$

Так как множитель $$ (x-1)^2 $$ не меняет знак, знак производной определяется выражением $$ (x-2)(5x-8). $$

Получаем:

$$ y’>0 \text{ при } x<\frac85 \text{ и } x>2,\qquad y'<0 \text{ при } \frac85<x<2. $$

Следовательно, в точке $$x=\frac85$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

2) Рассмотрим функцию $$y=4+(6-x)^4.$$

Найдём производную:

$$ y’ = 4(6-x)^3\cdot(-1)=-4(6-x)^3 $$

Критическая точка:

$$ -4(6-x)^3=0 \Rightarrow x=6 $$

При $$x<6$$ имеем $$6-x>0,$$ значит $$y'<0,$$ а при $$x>6$$ имеем $$6-x<0,$$ значит $$y’>0.$$

Следовательно, в точке $$x=6$$ функция имеет минимум.

Ответ

1) $$x=\frac85$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
2) $$x=6$$ — точка минимума.