Упр.1505 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти точки экстремума функции (1505—1506).
   1) $$y=(x-1)^3(x-2)^2$$;
   2) $$y=4+(6-x)^4$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=(x-1)^3(x-2)^2.$$

Найдём производную:

$$y’ = 3(x-1)^2(x-2)^2 + (x-1)^3\cdot 2(x-2)$$

$$y’=(x-1)^2(x-2)\bigl(3(x-2)+2(x-1)\bigr)=(x-1)^2(x-2)(5x-8).$$

Критические точки: $$x=1,\; x=\frac{8}{5},\; x=2.$$

Так как множитель $$(x-1)^2$$ не меняет знак, знак производной определяется выражением $$(x-2)(5x-8).$$

Получаем:

• при $$x<\frac{8}{5}$$ производная положительна;
• при $$\frac{8}{5}<x<2$$ производная отрицательна;
• при $$x>2$$ производная положительна.

Значит, в точке $$x=\frac{8}{5}$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

2) Рассмотрим функцию $$y=4+(6-x)^4.$$

Найдём производную:

$$y’ = 4(6-x)^3\cdot(-1)=-4(6-x)^3.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$-4(6-x)^3=0 \quad \Rightarrow \quad x=6.$$

Проверим знак производной:

• если $$x<6,$$ то $$6-x>0,$$ значит $$y'<0;$$
• если $$x>6,$$ то $$6-x<0,$$ значит $$y’>0.$$

Следовательно, в точке $$x=6$$ функция имеет минимум.

Ответ

1) $$x=\frac{8}{5}$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.

2) $$x=6$$ — точка минимума.