Упр.1504 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти промежутки монотонности функции:

1. $$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$;
2. $$y=\frac{x^2-1}{x}$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2}.$$

Область определения: $$x\neq \pm 1.$$

Так как $$\,(x^2-1)^2>0\,$$ при всех допустимых $$x,$$ знак производной определяется знаком числителя $$-4x.$$

Следовательно, функция:

• возрастает при $$x<0,$$ то есть на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0);$$
• убывает при $$x>0,$$ то есть на $$(0;1)\cup(1;+\infty).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^2-1}{x}.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^2-1)’x-(x^2-1)\cdot x’}{x^2} =\frac{2x\cdot x-(x^2-1)}{x^2} =\frac{x^2+1}{x^2}.$$

Область определения: $$x\neq 0.$$

Так как $$x^2+1>0$$ и $$x^2>0$$ при всех $$x\neq 0,$$ то $$y’>0$$ на всей области определения.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1) Возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0),$$ убывает на $$(0;1)\cup(1;+\infty).$$

2) Возрастает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$