Упр.15 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) $$1,\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{25},\ \ldots$$; 2) $$\frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{27},\ \ldots$$; 3) $$-27,\ -9,\ -3,\ \ldots$$; 4) $$-64,\ -32,\ -16,\ \ldots$$.

Для геометрической прогрессии признак бесконечной убывающей прогрессии таков: если $$|q|<1,$$ то прогрессия бесконечно убывает.

1. $$1,\ \frac15,\ \frac1{25},\dots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{\frac15}{1}=\frac15.$$

   Так как $$|q|=\frac15<1,$$ то прогрессия бесконечно убывающая.

2. $$\frac13,\ \frac19,\ \frac1{27},\dots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{\frac19}{\frac13}=\frac19\cdot 3=\frac13.$$

   Так как $$|q|=\frac13<1,$$ то прогрессия бесконечно убывающая.

3. $$-27,\ -9,\ -3,\dots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{-9}{-27}=\frac13.$$

   Так как $$|q|=\frac13<1,$$ то прогрессия бесконечно убывающая.

4. $$-64,\ -32,\ -16,\dots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{-32}{-64}=\frac12.$$

   Так как $$|q|=\frac12<1,$$ то прогрессия бесконечно убывающая.

Ответ

1) бесконечно убывающая; 2) бесконечно убывающая; 3) бесконечно убывающая; 4) бесконечно убывающая.