Упр.1498 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:

1. $$f(x)=x\ln 2x$$, $$x_0=0{,}5$$;
2. $$f(x)=2^{-x}$$, $$x_0=1$$.

Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

1. $$f(x)=x\ln 2x,\quad x_0=\frac12.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(x)’\ln 2x+x(\ln 2x)’=\ln 2x+x\cdot \frac{2}{2x}=\ln 2x+1.$$

   Вычислим значения функции и производной в точке $$x_0=\frac12$$:

   $$f’\!\left(\frac12\right)=\ln 1+1=1,$$

   $$f\!\left(\frac12\right)=\frac12\ln 1=0.$$

   Тогда уравнение касательной:

   $$y=0+1\left(x-\frac12\right)=x-\frac12.$$

2. $$f(x)=2^{-x},\quad x_0=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(2^{-x}\right)’=2^{-x}\ln 2\cdot(-1)=-2^{-x}\ln 2.$$

   Вычислим значения функции и производной в точке $$x_0=1$$:

   $$f'(1)=-2^{-1}\ln 2=-\frac12\ln 2,$$

   $$f(1)=2^{-1}=\frac12.$$

   Тогда уравнение касательной:

   $$y=\frac12-\frac12\ln 2\,(x-1).$$

   Приведём к более удобному виду:

   $$y=\frac12\left(1+\ln 2-x\ln 2\right).$$

Ответ: 1) $$y=x-\frac12$$; 2) $$y=\frac12\left(1+\ln 2-x\ln 2\right).$$