Упр.1496 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти точки, в которых касательные к графику функции $$y=4x^3-9x^2+6x+1$$ параллельны оси абсцисс.

Найдём точки, в которых касательные к графику функции $$y=4x^3-9x^2+6x+1$$ параллельны оси абсцисс.

Касательная параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть $$y'(x)=0.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=12x^2-18x+6.$$

Решим уравнение:

$$12x^2-18x+6=0$$

$$2x^2-3x+1=0$$

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4},$$

откуда

$$x_1=\frac12,\qquad x_2=1.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$y\left(\frac12\right)=4\cdot \left(\frac12\right)^3-9\cdot \left(\frac12\right)^2+6\cdot \frac12+1=\frac{9}{4},$$

$$y(1)=4-9+6+1=2.$$

Следовательно, искомые точки:

$$\left(\frac12;\frac94\right)\ \text{и}\ (1;2).$$

Ответ

$$\left(\frac12;\frac94\right),\ (1;2).$$