Упр.1496 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1496 Найти точки, в которых касательные к графику функции у = 4х3 — 9х2 + 6х + 1 параллельны оси абсцисс. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1496 1111

Найдём производную функции:

$$y=4x^3-9x^2+6x+1$$

$$y’ = 12x^2-18x+6$$

Касательная параллельна оси абсцисс, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть $$y'(x)=0$$.

Решим уравнение:

$$12x^2-18x+6=0$$

$$2x^2-3x+1=0$$

$$D = (-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$

$$x_1=\frac{1}{2}, \quad x_2=1$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$y\left(\frac{1}{2}\right)=4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3-9\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2+6\cdot \frac{1}{2}+1=\frac{9}{4}$$

$$y(1)=4-9+6+1=2$$

Следовательно, искомые точки:

$$\left(\frac{1}{2};\frac{9}{4}\right) \text{ и } (1;2)$$

Ответ

$$\left(\frac{1}{2};\frac{9}{4}\right),\ (1;2)$$