Упр.1492 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:

1. $$f(x)=\frac{3}{4}x\sqrt{x}$$, $$x_0=\frac{1}{4}$$;
2. $$f(x)=2x^4-x^2+4$$, $$x_0=-1$$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

1. $$f(x)=\frac{3}{4x\sqrt{x}}, \quad x_0=\frac14.$$

   Найдём производную:

   $$f(x)=\frac34 x^{-\frac32},$$

   $$f'(x)=\frac34\cdot\left(-\frac32\right)x^{-\frac52}=-\frac98x^{-\frac52}=-\frac{9}{8x^2\sqrt{x}}.$$

   Вычислим значения функции и производной в точке $$x_0=\frac14$$:

   $$f\!\left(\frac14\right)=\frac{3}{4\cdot\frac14\cdot\sqrt{\frac14}}=6,$$

   $$f’\!\left(\frac14\right)=-\frac{9}{8\cdot\left(\frac14\right)^2\cdot\sqrt{\frac14}}=-36.$$

   Тогда уравнение касательной:

   $$y=6-36\left(x-\frac14\right)=15-36x.$$

2. $$f(x)=2x^4-x^2+4, \quad x_0=-1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=8x^3-2x.$$

   Вычислим значения функции и производной в точке $$x_0=-1$$:

   $$f'(-1)=8\cdot(-1)^3-2\cdot(-1)=-8+2=-6,$$

   $$f(-1)=2\cdot(-1)^4-(-1)^2+4=2-1+4=5.$$

   Тогда уравнение касательной:

   $$y=5-6(x+1)=-1-6x.$$

Ответ: 1) $$y=15-36x$$; 2) $$y=-1-6x$$.