Упр.1491 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти угол между осью $$Ox$$ и касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$: 1) $$f(x)=\frac{1}{4}x^2-\sqrt{x}$$, $$x_0=1$$; 2) $$f(x)=2x\sqrt{x}$$, $$x_0=\frac{1}{3}$$.

1) $$f(x)=\frac{1}{4x^2}-\sqrt{x}, \qquad x_0=1$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac{1}{4}x^{-2}\right)’-\left(x^{1/2}\right)’=-\frac{1}{2}x^{-3}-\frac{1}{2}x^{-1/2}$$

Тогда

$$f'(1)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$$

Угол наклона касательной удовлетворяет равенству $$\tan \alpha=f'(1)=-1$$, значит

$$\alpha=-\frac{\pi}{4}$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{4}$$

2) $$f(x)=2x\sqrt{x}, \qquad x_0=\frac{1}{3}$$

Представим функцию в виде степени:

$$f(x)=2x^{3/2}$$

Тогда

$$f'(x)=2\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}=3\sqrt{x}$$

Следовательно,

$$f’\left(\frac{1}{3}\right)=3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$$

Значит,

$$\tan \alpha=\sqrt{3}$$

откуда

$$\alpha=\frac{\pi}{3}$$

Ответ: $$\frac{\pi}{3}$$