Упр.1490 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
1) $$f(x)=\sin x+\cos x$$, $$x_0=\frac{\pi}{2}$$;
2) $$f(x)=\cos 3x$$, $$x_0=\frac{\pi}{6}$$.

Найдём угловой коэффициент касательной по формуле $$k=f'(x_0).$$

1. $$f(x)=\sin x+\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=(\sin x)’ + (\cos x)’=\cos x-\sin x.$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{2}:$$

   $$k=f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}=0-1=-1.$$

2. $$f(x)=\cos 3x,\quad x_0=\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=(\cos 3x)’=-3\sin 3x.$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{6}:$$

   $$k=f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-3\sin\frac{3\pi}{6}=-3\sin\frac{\pi}{2}=-3\cdot 1=-3.$$

Ответ: 1) $$-1$$; 2) $$-3$$.