Упр.1486 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Найдём область определения функции

$$y=\sqrt{\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}}.$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби — отличным от нуля:

$$\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}\ge 0,$$

$$x^2-12x+11\ne 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-6x-16=(x+2)(x-8),$$

$$x^2-12x+11=(x-1)(x-11).$$

Тогда

$$\frac{(x+2)(x-8)}{(x-1)(x-11)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-2,\;1,\;8,\;11.$$

По знакам получаем:

$$x\in(-\infty;-2]\cup(1;8]\cup(11;+\infty).$$

2) Найдём область определения функции

$$y=\sqrt{\log_{\frac12}(x-3)-1}.$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а логарифм определён при $$x-3>0.$$ Поэтому:

$$\begin{cases} \log_{\frac12}(x-3)-1\ge 0,\\ x-3>0. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$\log_{\frac12}(x-3)\ge 1.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x-3\le \left(\frac12\right)^1=\frac12.$$

Совмещаем с условием $$x-3>0$$:

$$0<x-3\le \frac12,$$

откуда

$$x\in\left(3;\frac72\right].$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2]\cup(1;8]\cup(11;+\infty).$$

2) $$x\in\left(3;\frac72\right].$$