Упр.1486 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1486

1. $$y=\sqrt{\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}}$$

   Чтобы выражение имело смысл, нужно:

   $$\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}\ge 0,$$

   при этом знаменатель не должен обращаться в нуль.

   Разложим на множители:

   $$x^2-6x-16=(x+2)(x-8),$$

   $$x^2-12x+11=(x-1)(x-11).$$

   Тогда

   $$\frac{(x+2)(x-8)}{(x-1)(x-11)}\ge 0.$$

   Решая неравенство методом интервалов, получаем:

   $$x\in(-\infty;-2]\cup[1;8]\cup(11;+\infty).$$

2. $$y=\sqrt{\log_{\frac12}(x-3)-1}$$

   Для существования выражения нужно:

   $$x-3>0,$$

   $$\log_{\frac12}(x-3)-1\ge 0.$$

   Отсюда

   $$\log_{\frac12}(x-3)\ge 1.$$

   Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

   $$x-3\le \left(\frac12\right)^1=\frac12.$$

   Совмещая с условием $$x-3>0,$$ получаем:

   $$3<x\le \frac72.$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2]\cup[1;8]\cup(11;+\infty).$$

2) $$x\in\left(3;\frac72\right].$$