Упр.1483 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции:

1. 1) $$y=2(x-1)-3$$; 2) $$y=\log_{2}(x+2)+3$$.

1) $$y=2^{x-1}-3.$$

Это график функции $$y=2^x$$, сдвинутый на $$1$$ единицу вправо и на $$3$$ единицы вниз.

Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

Так как $$2^{x-1}>0$$ при всех $$x$$, то $$y>-3$$, значит область значений:

$$E(y)=(-3;+\infty).$$

Функция возрастает на всей числовой прямой, так как

$$y’=(2^{x-1})’ = 2^{x-1}\ln 2>0.$$

Найдём несколько точек для построения графика:

По этим точкам строим возрастающую экспоненту, которая приближается к прямой $$y=-3$$.

2) $$y=\log_2(x+2)+3.$$

Это график функции $$y=\log_2 x$$, сдвинутый на $$2$$ единицы влево и на $$3$$ единицы вверх.

Область определения:

$$x+2>0,\quad x>-2,$$

значит

$$D(x)=(-2;+\infty).$$

Область значений:

$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция возрастает на всей области определения, так как

$$y’=\frac{1}{(x+2)\ln 2}>0.$$

Найдём несколько точек:

График — возрастающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $$x=-2$$.

Ответ

1) график функции $$y=2^{x-1}-3$$ — экспонента, сдвинутая вправо на $$1$$ и вниз на $$3$$;
2) график функции $$y=\log_2(x+2)+3$$ — логарифмическая кривая, сдвинутая влево на $$2$$ и вверх на $$3$$.