Упр.1482 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Выяснить основные свойства функции и построить её график: 1) $$y=3x+1$$; 2) $$y=\log_{2}(x+1)$$; 3) $$y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$$.

1) $$y=3^x+1$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция ни чётная, ни нечётная, так как $$y(-x)=3^{-x}+1\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x).$$

Найдём производную:

$$y'(x)=(3^x)’=3^x\ln 3>0.$$

Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.

Область значений: $$E(y)=(1;+\infty).$$

Пересечение с осью $$Oy$$: при $$x=0$$ имеем $$y=3^0+1=2,$$ то есть точка $$\,(0;2).$$

Пересечения с осью $$Ox$$ нет, так как $$3^x+1>0$$ при всех $$x.$$

Для построения графика удобно отметить точки:

2) $$y=\log_2(x+1)$$

Область определения: $$x+1>0,$$ значит $$D(y)=(-1;+\infty).$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 2}>0 \quad \text{при } x>-1.$$

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

Пересечение с осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем $$y=\log_2 1=0,$$ то есть точка $$\,(0;0).$$

Для построения графика отметим точки:

3) $$y=\log_{\frac13}(x-1)$$

Область определения: $$x-1>0,$$ значит $$D(y)=(1;+\infty).$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{1}{(x-1)\ln \frac13}.$$

Так как $$\ln \frac13<0,$$ то при $$x>1$$ имеем $$y'(x)<0.$$ Следовательно, функция убывает на всей области определения.

Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

Пересечение с осью $$Ox$$: при $$y=0$$ получаем

$$\log_{\frac13}(x-1)=0,$$

откуда $$x-1=1,$$ значит $$x=2.$$ Точка пересечения: $$\,(2;0).$$

Для построения графика отметим точки:

Ответ

1) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(1;+\infty),$$ функция возрастает, пересечение с $$Oy$$: $$\,(0;2).$$
2) $$D(y)=(-1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает, пересечение с $$Oy$$: $$\,(0;0).$$
3) $$D(y)=(1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает, пересечение с $$Ox$$: $$\,(2;0).$$