Упр.1481 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1481 Построить график функции у = 5/(x-2). Доказать, что функция убывает на промежутках (-бесконечность; 2) и (2; +бесконечность). В какой точке график функции пересекает ось ординат? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1481 1111

Рассмотрим функцию $$y=\frac{5}{x-2}.$$

Область определения: $$x-2\ne 0,$$ значит $$x\ne 2.$$ Следовательно, $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{5}{x-2}\right)’=5\cdot (x-2)^{-1}{}’=-\frac{5}{(x-2)^2}.$$

Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при всех $$x\ne 2,$$ то

$$y’=-\frac{5}{(x-2)^2}<0.$$

Значит, функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: $$(-\infty;2)$$ и $$ (2;+\infty).$$

Найдём точку пересечения с осью ординат. При $$x=0$$:

$$y(0)=\frac{5}{0-2}=-\frac{5}{2}.$$

Следовательно, график пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;-\frac{5}{2}\right).$$

Для построения графика можно отметить несколько точек, например:

$$ \begin{array}{c|cccccc} x & -3 & 0 & 1 & 3 & 4 & 7 \\ \hline y & -1 & -\frac{5}{2} & -5 & 5 & \frac{5}{2} & 1 \end{array} $$

График — гипербола с асимптотами $$x=2$$ и $$y=0.$$

Ответ

График — гипербола $$y=\frac{5}{x-2}$$ с асимптотами $$x=2$$ и $$y=0.$$ Функция убывает на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$ (2;+\infty).$$ Ось ординат пересекает в точке $$\left(0;-\frac{5}{2}\right).$$