Упр.1481 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции $$y=\frac{5}{x-2}$$. Доказать, что функция убывает на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty)$$. В какой точке график функции пересекает ось ординат?

Рассмотрим функцию $$y=\frac{5}{x-2}.$$

Область определения: $$x-2\ne 0,$$ значит $$x\ne 2.$$ Следовательно, $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{5}{x-2}\right)’=5\cdot (x-2)^{-1}{}’=-\frac{5}{(x-2)^2}.$$

Так как $$(x-2)^2>0$$ при всех $$x\ne 2,$$ то

$$y’=-\frac{5}{(x-2)^2}<0.$$

Значит, функция убывает на каждом из промежутков $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty).$$

Найдём точку пересечения с осью ординат: при $$x=0$$

$$y(0)=\frac{5}{0-2}=-\frac{5}{2}.$$

Следовательно, график пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;-\frac{5}{2}\right).$$

Для построения графика удобно отметить несколько точек, например:

$$(-3;-1),\ (0;-\tfrac{5}{2}),\ (1;-5),\ (3;5),\ (4;\tfrac{5}{2}),\ (7;1).$$

График — гипербола с асимптотами $$x=2$$ и $$y=0.$$

Ответ

$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ функция убывает на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty),$$ пересекает ось ординат в точке $$\left(0;-\frac{5}{2}\right).$$