Упр.1477 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
   
   1) $$y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x$$;
   
   2) $$y=2\cos 2x+\sin^2 x$$.

1) $$y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x$$

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x =2\left(\frac12\sin 2x-\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x\right) =2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 2.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2.$$

2) $$y=2\cos 2x+\sin^2 x$$

Преобразуем функцию, используя формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$y=2(1-2\sin^2 x)+\sin^2 x=2-4\sin^2 x+\sin^2 x=2-3\sin^2 x.$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$2-3\cdot 1\le 2-3\sin^2 x\le 2-3\cdot 0,$$

то есть

$$-1\le y\le 2.$$

$$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=2.$$