Упр.1475 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить её график:
1) $$y=-x^4+4x^2-5$$;
2) $$y=x^3-4x$$.
1) Рассмотрим функцию $$y=-x^4+4x^2-5.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=-(-x)^4+4(-x)^2-5=-x^4+4x^2-5=y(x).$$
Следовательно, функция чётная, её график симметричен относительно оси $$Oy$$.
Для построения найдём несколько точек:
$$\begin{aligned} x&=0,& y&=-5;\\ x&=1,& y&=-2;\\ x&=2,& y&=-5;\\ x&=3,& y&=-50. \end{aligned}$$
Кроме того, производная:
$$y’=-4x^3+8x=4x(2-x^2).$$
Критические точки:
$$4x(2-x^2)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm\sqrt2.$$
Значения функции в них:
$$y(0)=-5,\qquad y(\pm\sqrt2)=-1.$$
График — симметричная относительно оси $$Oy$$ кривая с минимумом в точке $$\left(0,-5\right)$$ и максимумами в точках $$\left(\pm\sqrt2,-1\right)$$.
2) Рассмотрим функцию $$y=x^3-4x.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=(-x)^3-4(-x)=-x^3+4x=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат.
Для построения найдём несколько точек:
$$\begin{aligned} x&=0,& y&=0;\\ x&=1,& y&=-3;\\ x&=2,& y&=0;\\ x&=3,& y&=15. \end{aligned}$$
Производная:
$$y’=3x^2-4.$$
Критические точки:
$$3x^2-4=0 \;\Rightarrow\; x=\pm\frac{2}{\sqrt3}.$$
Значения функции в этих точках:
$$y\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^3-4\cdot\frac{2}{\sqrt3} =-\frac{16}{3\sqrt3},$$
$$y\left(-\frac{2}{\sqrt3}\right)=\frac{16}{3\sqrt3}.$$
График — кубическая кривая, проходящая через начало координат и симметричная относительно него.
Ответ
1) функция чётная; 2) функция нечётная.
