Упр.147 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение $$\frac{1}{3x+1}-\frac{2}{3x-1}-\frac{5x}{9x^2-1}=\frac{3x^3}{1-9x^2}$$.

ОДЗ: $$3x+1\ne 0,\quad 3x-1\ne 0,\quad 9x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne -\frac13,\quad x\ne \frac13.$$

Преобразуем уравнение:

$$\frac{1}{3x+1}-\frac{2}{3x-1}-\frac{5x}{9x^2-1}=\frac{3x^2}{1-9x^2}$$

Так как $$1-9x^2=-(9x^2-1),$$ перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $$9x^2-1$$:

$$\frac{1}{3x+1}-\frac{2}{3x-1}-\frac{5x}{9x^2-1}+\frac{3x^2}{9x^2-1}=0$$

$$\frac{(3x-1)-2(3x+1)-5x+3x^2}{9x^2-1}=0$$

$$\frac{3x^2-8x-3}{9x^2-1}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

$$3x^2-8x-3=0$$

Найдём корни:

$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=64+36=100$$

$$x=\frac{8\pm 10}{2\cdot 3}$$

$$x_1=3,\quad x_2=-\frac13$$

Проверяем ОДЗ: $$x=-\frac13$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит, остаётся

$$x=3.$$

Ответ

$$x=3$$