Упр.1468 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=-2x^2+3x+2$$.
1. Построить её график и найти значения $$x$$, при которых $$y(x)<0$$.
2. Доказать, что функция убывает на отрезке $$[1;2]$$.
3. Найти значение $$x$$, при котором функция принимает наибольшее значение.
4. Найти значения $$x$$, при которых график данной функции лежит ниже графика функции $$y=3x+2$$.
5. Записать уравнения касательных к параболе $$y=-2x^2+3x+2$$ в точках с ординатой, равной $$3$$.

Подробный ответ

Функция $$y=-2x^2+3x+2$$ — парабола, ветви которой направлены вниз.

Ход решения

Найдём нули функции:
$$-2x^2+3x+2=0$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$x_1=-\frac12,\quad x_2=2$$
Так как ветви параболы направлены вниз, то
$$y(x)<0 \text{ при } x<-\frac12 \text{ и } x>2.$$
Вершина параболы имеет абсциссу
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-2)}=\frac34.$$
Тогда
$$y\!\left(\frac34\right)=-2\left(\frac34\right)^2+3\cdot\frac34+2=\frac{25}{8}.$$
Значит, наибольшее значение функции равно $$\frac{25}{8}$$ и достигается при $$x=\frac34.$$
Найдём производную:
$$y’=-4x+3.$$
На отрезке $$[1;2]$$ имеем
$$y'(x)=-4x+3\le -4\cdot 1+3=-1<0.$$
Следовательно, функция убывает на отрезке $$[1;2].$$
Сравним график функции с графиком $$y=3x+2$$:
$$-2x^2+3x+2<3x+2$$
$$-2x^2<0$$
$$x^2>0.$$
Это верно при всех $$x\ne 0.$$
Найдём уравнения касательных в точках, где $$y=3$$:
$$-2x^2+3x+2=3$$
$$2x^2-3x+1=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=1.$$
Производная функции:
$$y’=-4x+3.$$
Для $$x=\frac12$$:
$$y’\!\left(\frac12\right)=1,$$
$$y-3=1\left(x-\frac12\right),$$
$$y=x+\frac52.$$
Для $$x=1$$:
$$y'(1)=-1,$$
$$y-3=-1(x-1),$$
$$y=4-x.$$

Ответ

1) $$y<0$$ при $$x<-\frac12$$ и $$x>2$$.
2) Функция убывает на $$[1;2]$$.
3) Наибольшее значение равно $$\frac{25}{8}$$, при $$x=\frac34$$.
4) При всех $$x\ne 0$$.
5) $$y=x+\frac52$$ и $$y=4-x.$$