Упр.1467 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=x^2-2x-3$$.
1) Построить её график и найти значения $$x$$, при которых $$y(x)<0$$.
2) Доказать, что функция возрастает на отрезке $$[1;4]$$.
3) Найти значение $$x$$, при котором функция принимает наименьшее значение.
4) Найти значения $$x$$, при которых график функции $$y=x^2-2x-3$$ лежит выше графика функции $$y=-2x+1$$.
5) Записать уравнение касательной к параболе $$y=x^2-2x-3$$ в точке с абсциссой, равной $$2$$.
1) Преобразуем функцию к виду вершины:
$$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4.$$
Это парабола, ветви направлены вверх, вершина имеет координаты $$\left(1;\,-4\right).$$
Найдём, при каких $$x$$ функция отрицательна:
$$x^2-2x-3<0$$
$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3),$$
поэтому
$$(x+1)(x-3)<0.$$
Произведение отрицательно между корнями, значит
$$-1<x<3.$$
2) Найдём производную:
$$y’=2x-2=2(x-1).$$
На отрезке $$[1;4]$$ имеем $$y’\ge 0$$, так как при $$x\ge 1$$
$$2(x-1)\ge 0.$$
Следовательно, функция возрастает на отрезке $$[1;4].$$
3) Так как парабола направлена вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине, то есть при
$$x=1.$$
Тогда
$$y(1)=1^2-2\cdot1-3=-4.$$
4) Найдём, при каких $$x$$ график функции $$y=x^2-2x-3$$ лежит выше графика $$y=-2x+1$$:
$$x^2-2x-3>-2x+1,$$
$$x^2-4>0,$$
$$(x-2)(x+2)>0.$$
Отсюда
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>2.$$
5) Уравнение касательной в точке с абсциссой $$x_0=2$$:
$$y’=2x-2,$$
$$y'(2)=2,$$
$$y(2)=2^2-2\cdot2-3=-3.$$
По формуле касательной:
$$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0),$$
получаем
$$y+3=2(x-2),$$
$$y=2x-7.$$
Ответ
1) $$-1<x<3$$; 2) функция возрастает на $$[1;4]$$; 3) $$x=1$$, $$y_{\min}=-4$$; 4) $$x<-2$$ или $$x>2$$; 5) $$y=2x-7$$.
