Упр.1458 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Линейная функция задана формулой $$y=-\frac{3x}{4}+2$$. Найти: 1) точки A и B пересечения её графика с осями координат; 2) длину отрезка AB; 3) расстояние от начала координат до прямой $$y=-\frac{3x}{4}+2$$.

Пусть график функции $$y=-\frac{3}{4}x+2$$ пересекает оси координат в точках $$A$$ и $$B$$.

1) Точки пересечения с осями координат

Точка пересечения с осью $$Ox$$ находится при $$y=0.$$ Тогда

$$-\frac{3}{4}x+2=0,$$

$$-\frac{3}{4}x=-2,$$

$$x=\frac{8}{3}.$$

Значит, $$A\left(\frac{8}{3};0\right).$$

Точка пересечения с осью $$Oy$$ находится при $$x=0.$$ Тогда

$$y=-\frac{3}{4}\cdot 0+2=2.$$

Значит, $$B(0;2).$$

2) Длина отрезка $$AB$$

Используем формулу расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{\left(\frac{8}{3}-0\right)^2+(0-2)^2}.$$

$$AB=\sqrt{\frac{64}{9}+4}=\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{36}{9}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}.$$

3) Расстояние от начала координат до прямой

Расстояние от начала координат до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $$O(0;0)$$ на эту прямую.

Прямая, перпендикулярная данной, имеет угловой коэффициент

$$k_1=-\frac{1}{-\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}.$$

Так как она проходит через начало координат, её уравнение:

$$y=\frac{4}{3}x.$$

Найдём точку пересечения этих прямых:

$$-\frac{3}{4}x+2=\frac{4}{3}x,$$

$$-9x+24=16x,$$

$$25x=24,$$

$$x=\frac{24}{25}.$$

Тогда

$$y=\frac{4}{3}\cdot \frac{24}{25}=\frac{32}{25}.$$

Искомое расстояние:

$$OC=\sqrt{\left(\frac{24}{25}\right)^2+\left(\frac{32}{25}\right)^2}=\sqrt{\frac{576+1024}{625}}=\sqrt{\frac{1600}{625}}=\frac{8}{5}.$$

Ответ: $$A\left(\frac{8}{3};0\right),\ B(0;2),\ AB=\frac{10}{3},\ d=\frac{8}{5}.$$