Упр.1452 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. В треугольнике, площадь которого равна $$12\ \text{см}^2$$, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.

При каждом построении получается треугольник, подобный предыдущему, с коэффициентом подобия $$k=\frac12.$$

Тогда площади этих треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1=12$$ и знаменателем

$$q=k^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Сумма площадей всех получающихся треугольников равна сумме бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac14}=\frac{12}{\frac34}=16.$$

Ответ: $$16\text{ см}^2$$.