Упр.1451 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_5=a_1+4d,\qquad a_6=a_1+5d,\qquad a_2=a_1+d.$$

По условию

$$a_5a_6=33a_1a_2,$$

то есть

$$\left(a_1+4d\right)\left(a_1+5d\right)=33a_1\left(a_1+d\right).$$

Раскроем скобки:

$$a_1^2+9a_1d+20d^2=33a_1^2+33a_1d,$$

$$32a_1^2+24a_1d-20d^2=0,$$

$$8a_1^2+6a_1d-5d^2=0.$$

Решим это уравнение относительно $$a_1$$:

$$D=(6d)^2-4\cdot 8\cdot(-5d^2)=36d^2+160d^2=196d^2.$$

Тогда

$$a_1=\frac{-6d\pm 14d}{16}.$$

Получаем два корня:

$$a_1=\frac{d}{2}\quad \text{или} \quad a_1=-\frac{5d}{4}.$$

Так как все члены прогрессии положительны, подходит только $$a_1=\frac{d}{2}$$.

Найдём, во сколько раз пятый член больше второго:

$$\frac{a_5}{a_2}=\frac{a_1+4d}{a_1+d}=\frac{\frac{d}{2}+4d}{\frac{d}{2}+d}=\frac{\frac{9d}{2}}{\frac{3d}{2}}=3.$$

Ответ: в 3 раза.