Упр.1450 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна $$62$$. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Пусть $$x$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_5=xq^4,\quad b_8=xq^7,\quad b_{11}=xq^{10}.$$

По условию эти члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии, значит

$$a_1=xq^4,\quad a_2=xq^7,\quad a_{10}=xq^{10}.$$

Разность арифметической прогрессии:

$$d=a_2-a_1=xq^7-xq^4=xq^4(q^3-1).$$

Тогда

$$a_{10}=a_1+9d,$$

откуда

$$xq^{10}=xq^4+9xq^4(q^3-1).$$

Если $$x\neq 0$$ и $$q\neq 0$$, делим на $$xq^4$$:

$$q^6=1+9(q^3-1),$$

$$q^6-9q^3+8=0.$$

Положим $$y=q^3$$. Тогда

$$y^2-9y+8=0,$$

$$\left(y-1\right)\left(y-8\right)=0,$$

$$y=1 \text{ или } y=8.$$

Следовательно,

$$q^3=1 \Rightarrow q=1,$$

или

$$q^3=8 \Rightarrow q=2.$$

Используем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

$$S_5=\frac{x(q^5-1)}{q-1}=62.$$

1) При $$q=2$$:

$$x\cdot \frac{2^5-1}{2-1}=62,$$

$$31x=62,$$

$$x=2.$$

2) При $$q=1$$ все пять первых членов равны $$x$$, поэтому

$$5x=62,$$

$$x=\frac{62}{5}=12{,}4.$$

Ответ: $$2$$ или $$12{,}4$$.