Упр.1449 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна $$16$$, а второго и третьего — $$12$$.

Пусть первое число равно $$x$$, знаменатель геометрической прогрессии — $$q$$. Тогда

$$x,\; xq,\; xq^2$$

— первые три числа. Так как последние три числа образуют арифметическую прогрессию, то разность равна

$$d=xq^2-xq=xq(q-1).$$

Тогда четвёртое число:

$$xq^2+d=xq^2+xq(q-1).$$

По условию сумма первого и четвёртого чисел равна $$16$$:

$$x+xq^2+xq(q-1)=16,$$
$$x(1+q^2+q^2-q)=16,$$
$$x(1+2q^2-q)=16.$$

Сумма второго и третьего чисел равна $$12$$:

$$xq+xq^2=12,$$
$$xq(1+q)=12.$$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=\frac{16}{2q^2-q+1}.$$

Подставим во второе:

$$\frac{16q}{2q^2-q+1}+\frac{16q^2}{2q^2-q+1}=12,$$
$$16q+16q^2=12(2q^2-q+1),$$
$$16q+16q^2=24q^2-12q+12,$$
$$8q^2-28q+12=0,$$
$$2q^2-7q+3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=49-24=25,$$
$$q_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$q_1=\frac12,\qquad q_2=3.$$

1) При $$q=\frac12$$:

$$x=\frac{16}{2\cdot \frac14-\frac12+1}=16.$$
Тогда числа:

$$16,\; 8,\; 4,\; 0.$$

2) При $$q=3$$:

$$x=\frac{16}{2\cdot 9-3+1}=1.$$
Тогда числа:

$$1,\; 3,\; 9,\; 15.$$

Ответ

$$16,\; 8,\; 4,\; 0$$ или $$1,\; 3,\; 9,\; 15$$.