Упр.1449 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1449 Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а второго и третьего равна 12. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1449 1111

Пусть первое число равно $$x$$, а знаменатель геометрической прогрессии — $$q$$. Тогда

$$x,\; xq,\; xq^2$$

— три последовательных члена геометрической прогрессии.

Так как последние три числа образуют арифметическую прогрессию, то разность равна

$$d=xq^2-xq=xq(q-1).$$

Тогда четвёртое число:

$$xq^2+d=xq^2+xq(q-1).$$

По условию сумма первого и четвёртого чисел равна 16:

$$x+xq^2+xq(q-1)=16,$$

откуда

$$x(1+q^2+q^2-q)=16,$$

$$x(1+2q^2-q)=16.$$

Сумма второго и третьего чисел равна 12:

$$xq+xq^2=12,$$

то есть

$$xq(1+q)=12.$$

Удобнее воспользоваться записью через разность арифметической прогрессии:

$$xq^2-xq=d,$$

а четвёртое число равно $$xq^2+d=2xq^2-xq$$. Тогда система имеет вид

$$ \begin{cases} x+2xq^2-xq=16,\\ xq+xq^2=12. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=\frac{16}{2q^2-q+1}.$$

Подставим во второе:

$$\frac{16q}{2q^2-q+1}+\frac{16q^2}{2q^2-q+1}=12,$$

$$16q+16q^2=12(2q^2-q+1),$$

$$16q+16q^2=24q^2-12q+12,$$

$$8q^2-28q+12=0,$$

$$2q^2-7q+3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=49-24=25,$$

$$q=\frac{7\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$q_1=\frac12,\qquad q_2=3.$$

Найдём $$x$$:

при $$q=\frac12$$

$$x=\frac{16}{2\cdot \frac14-\frac12+1}=16,$$

тогда числа:

$$16,\; 8,\; 4,\; 0.$$

При $$q=3$$

$$x=\frac{16}{2\cdot 9-3+1}=1,$$

тогда числа:

$$1,\; 3,\; 9,\; 15.$$

Ответ

$$16,\; 8,\; 4,\; 0$$ или $$1,\; 3,\; 9,\; 15.$$