Упр.1431 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Система $$\sin x\cos y=-\frac{1}{2},\quad \tg x\ctg y=1$$.
2. Система $$\sin x\sin y=\frac{1}{4},\quad 3\tg x=\ctg y$$.

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin x \cos y=-\dfrac12,\\ \tg x \ctg y=1. \end{cases}$$

Так как $$\tg x \ctg y=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\cos y}{\sin y}=1,$$ то

$$\sin x\cos y=\cos x\sin y.$$

Тогда

$$\sin x\cos y-\cos x\sin y=0,$$

то есть

$$\sin(x-y)=0.$$

Следовательно,

$$x-y=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=\pi n+y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\sin(\pi n+y)\cos y=-\dfrac12.$$

Если $$n$$ чётное, то $$\sin(\pi n+y)=\sin y,$$ и получаем

$$\sin y\cos y=-\dfrac12,$$

то есть

$$\sin 2y=-1.$$

Отсюда

$$2y=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z,$$

$$y=-\dfrac{\pi}{4}+\pi m.$$

Тогда

$$x=\pi n-\dfrac{\pi}{4}+\pi m=-\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m).$$

Если $$n$$ нечётное, то $$\sin(\pi n+y)=-\sin y,$$ и получаем

$$-\sin y\cos y=-\dfrac12,$$

то есть

$$\sin 2y=1.$$

Отсюда

$$2y=\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z,$$

$$y=\dfrac{\pi}{4}+\pi m.$$

Тогда

$$x=\pi n+\dfrac{\pi}{4}+\pi m=\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m).$$

Итак,

$$(x,y)=\left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m),\,-\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),$$

или

$$(x,y)=\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m),\,\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right), \quad n,m\in\mathbb Z.$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin x\sin y=\dfrac14,\\ 3\tg x=\ctg y. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$3\tg x=\ctg y \quad\Longrightarrow\quad 3\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos y}{\sin y} \quad\Longrightarrow\quad 3\sin x\sin y=\cos x\cos y.$$

Так как $$\sin x\sin y=\dfrac14,$$ то

$$\cos x\cos y=\dfrac34.$$

Тогда

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y=\dfrac34+\dfrac14=1.$$

Следовательно,

$$x-y=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

или

$$x=y+2\pi k.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\sin(y+2\pi k)\sin y=\dfrac14.$$

Так как $$\sin(y+2\pi k)=\sin y,$$ получаем

$$\sin^2 y=\dfrac14,$$

откуда

$$\sin y=\pm\dfrac12.$$

Тогда

$$y=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n+2\pi k =\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+2k),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$(x,y)=\left(\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+2k),\ \pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n\right), \quad n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m),\,-\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),\ \left(\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m),\,\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),\quad n,m\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+2k),\ \pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$