Упр.143 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. 1) $$\frac{x+3}{2+x^2}<3$$; 2) $$\frac{x-2}{5-x}>1$$.

1) $$\frac{x+3}{2+x^2}<3$$

Перенесём $$3$$ в левую часть:

$$\frac{x+3}{2+x^2}-3<0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x+3-3(2+x^2)}{2+x^2}<0$$

$$\frac{-3x^2+x-3}{2+x^2}<0$$

$$\frac{3x^2-x+3}{2+x^2}>0$$

Так как $$2+x^2>0$$ при любом $$x$$, достаточно исследовать числитель:

$$3x^2-x+3>0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot 3=1-36=-35<0$$

Так как $$a=3>0$$ и корней нет, то $$3x^2-x+3>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Следовательно,

$$x\in \mathbb{R}.$$

2) $$\frac{x-2}{5-x}>1$$

Перенесём $$1$$ в левую часть:

$$\frac{x-2}{5-x}-1>0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x-2-(5-x)}{5-x}>0$$

$$\frac{2x-7}{5-x}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$\begin{cases} 2x-7>0,\\ 5-x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2x-7<0,\\ 5-x<0 \end{cases}$$

Из первой системы получаем:

$$x>\frac{7}{2}, \quad x<5$$

то есть

$$\frac{7}{2}<x<5.$$

Вторая система решений не имеет.

Итак,

$$\frac{7}{2}<x<5.$$

Ответ: 1) $$x\in \mathbb{R}$$; 2) $$\frac{7}{2}<x<5$$.