Упр.1429 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
$$\begin{cases} \sqrt{x+y-1}=1,\\ \sqrt{x-y+2}=2y-2. \end{cases}$$
$$\begin{cases} \sqrt{3y+x+1}=2,\\ \sqrt{2x-y+2}=7y-6. \end{cases}$$
Решим систему
$$\begin{cases} \sqrt{x+y-1}=1,\\ \sqrt{x-y+2}=2y-2. \end{cases}$$
Возведём оба уравнения в квадрат:
$$\begin{cases} x+y-1=1,\\ x-y+2=(2y-2)^2. \end{cases}$$
Тогда
$$\begin{cases} x=2-y,\\ x-y+2=4y^2-8y+4. \end{cases}$$
Подставим $$x=2-y$$ во второе уравнение:
$$2-y-y+2=4y^2-8y+4,$$
$$4y^2-6y=0,$$
$$2y(2y-3)=0.$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=\dfrac{3}{2}$$.
Найдём соответствующие значения $$x$$:
при $$y=0$$: $$x=2$$;
при $$y=\dfrac{3}{2}$$: $$x=\dfrac{1}{2}$$.
Проверим область допустимых значений:
$$x+y-1\ge 0,\qquad x-y+2\ge 0,\qquad 2y-2\ge 0.$$
При $$y=0$$ условие $$2y-2\ge 0$$ не выполняется, значит этот корень не подходит.
Подходит только пара $$\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$$.
Решим систему
$$\begin{cases} \sqrt{3y+x+1}=2,\\ \sqrt{2x-y+2}=7y-6. \end{cases}$$
Возведём уравнения в квадрат:
$$\begin{cases} 3y+x+1=4,\\ 2x-y+2=(7y-6)^2. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=3-3y.$$
Подставим во второе:
$$2(3-3y)-y+2=49y^2-84y+36,$$
$$49y^2-77y+28=0.$$
Найдём корни:
$$D=77^2-4\cdot 49\cdot 28=441,$$
$$y=\frac{77\pm 21}{98}.$$
Тогда
$$y_1=1,\qquad y_2=\frac{4}{7}.$$
Найдём соответствующие $$x$$:
при $$y=1$$: $$x=0$$;
при $$y=\dfrac{4}{7}$$: $$x=\dfrac{9}{7}$$.
Проверим ОДЗ:
$$3y+x+1\ge 0,\qquad 2x-y+2\ge 0,\qquad 7y-6\ge 0.$$
Для $$y=\dfrac{4}{7}$$ условие $$7y-6\ge 0$$ не выполняется, значит этот корень не подходит.
Остаётся решение $$\left(0;1\right)$$.
Ответ: 1) $$\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$$; 2) $$\left(0;1\right)$$.
